גיאומטריה בפסיכומטרי
גיאומטריה בפסיכומטרי היא נושא סגור וצפוי: משולשים, מרובעים, מעגל, שטחים והיקפים, ברמת חטיבת הביניים. אין הוכחות ואין טריגונומטריה. מה שכן נדרש הוא זיהוי מהיר של הצורה, שליטה בכמה נוסחאות, ויכולת לקרוא מהתרשים את מה שהטקסט לא טרח לכתוב. זהו למעשה תרגיל בקריאה מדויקת יותר מאשר בחישוב.
זוויות, ישרים ומקבילים
שלושה כללים מכסים כמעט כל שאלת זוויות במבחן. זוויות על ישר משלימות ל‑180 מעלות, זוויות קדקודיות שוות זו לזו, וכששני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי הזוויות המתחלפות שוות והזוויות הנגדיות באותו צד משלימות ל‑180. סביב נקודה סכום הזוויות הוא 360 מעלות. לדוגמה, אם שני ישרים מקבילים נחתכים ואחת הזוויות היא 65 מעלות, אז כל זווית בתרשים היא 65 או 115, ואין אפשרות שלישית. ברגע שמסמנים את שני הערכים האלה על התרשים, השאלה בדרך כלל נפתרת מעצמה.
משולשים
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, ושטחו הוא בסיס כפול הגובה אליו חלקי שתיים. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, ובמשולש שווה צלעות כל זווית היא 60 מעלות. במשולש ישר זווית מתקיים משפט פיתגורס. זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. כדאי לזכור בעל פה את השלשות הפיתגוריות שחוזרות: 3, 4, 5 והכפולות שלהן, וכן 5, 12, 13 ו‑8, 15, 17. זיהוי שלשה חוסך חישוב שורש שלם. שווה לזכור גם את אי שוויון המשולש: כל צלע קטנה מסכום שתי הצלעות האחרות וגדולה מההפרש ביניהן, ולכן משולש עם צלעות 7 ו‑10 יכול לקבל צלע שלישית בין 3 ל‑17 בלבד.
דוגמהבמשולש ישר זווית הניצבים הם 6 ו‑8, ולכן היתר הוא 10. השטח מחושב מהניצבים: 6 כפול 8 חלקי 2, כלומר 24. אותו שטח דרך היתר נותן 10 כפול הגובה חלקי 2, ומכאן שהגובה ליתר הוא 4.8.
שאלה קלאסית נוספת נשענת על יחס בין זוויות. אם היחס בין זוויות המשולש הוא 1 ל‑2 ל‑3, יש כאן שישה חלקים, כל חלק שווה 30 מעלות, והזוויות הן 30, 60 ו‑90. המשולש ישר זווית, וזה בדרך כלל מה שהשאלה באמת רצתה.
דמיון משולשים הוא הכלי החזק בנושא. אם יחס הצלעות בין שני משולשים דומים הוא 2 ל‑3, יחס השטחים הוא 4 ל‑9, כי השטח גדל בריבוע היחס. משולש קטן ששטחו 20 מתאים למשולש גדול ששטחו 45.
מרובעים ושטחים
סכום הזוויות בכל מרובע הוא 360 מעלות. במקבילית הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות, הזוויות הנגדיות שוות, זוויות סמוכות משלימות ל‑180, והאלכסונים חוצים זה את זה. מלבן הוא מקבילית עם זוויות ישרות, מעוין הוא מקבילית עם ארבע צלעות שוות ואלכסונים מאונכים, וריבוע הוא שניהם יחד. ההבחנה הזאת חוסכת שינון, כי כל מה שנכון למקבילית נכון גם למלבן, למעוין ולריבוע.
| צורה | שטח | מה כדאי לזכור |
|---|---|---|
| משולש | בסיס כפול גובה חלקי 2 | הגובה הוא לבסיס שבחרתם, לא בהכרח צלע |
| מלבן | אורך כפול רוחב | האלכסון הוא פיתגורס על שתי הצלעות |
| מקבילית | בסיס כפול גובה | הגובה אינו הצלע הנטויה |
| מעוין | מכפלת האלכסונים חלקי 2 | האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה |
| טרפז | סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי 2 | הבסיסים הם שתי הצלעות המקבילות |
| עיגול | פאי כפול רדיוס בריבוע | ההיקף הוא שתי פאי רדיוס |
דוגמהבטרפז הבסיסים הם 8 ו‑12 והגובה 5. השטח הוא סכום הבסיסים, 20, חלקי 2, כלומר 10, כפול הגובה 5, ובסך הכול 50. במעוין שאלכסוניו 6 ו‑8 השטח הוא 24, וכל צלע היא 5 לפי פיתגורס על 3 ו‑4, ולכן ההיקף 20.
שאלות מרובעים מגיעות לעיתים קרובות דרך משוואה קטנה. מלבן שהיקפו 32 ואורכו גדול פי שלושה מרוחבו: אם הרוחב הוא x, ההיקף הוא שמונה x, ולכן x שווה 4. הצלעות הן 4 ו‑12, והשטח 48.
מעגל ועיגול
במעגל ההיקף הוא שתי פאי כפול הרדיוס, והשטח הוא פאי כפול הרדיוס בריבוע. הקוטר הוא פי שניים מהרדיוס. גזרה בעלת זווית מרכזית נתונה תופסת מהשטח ומההיקף בדיוק את היחס שבין הזווית ל‑360 מעלות. משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, וזווית היקפית הנשענת על קוטר היא תמיד ישרה. במעגל שרדיוסו 6 השטח הוא 36 פאי וההיקף 12 פאי. גזרה של 60 מעלות היא שישית מהמעגל, ולכן שטחה 6 פאי ואורך הקשת שלה 2 פאי. שימו לב שהכפלת הרדיוס מכפילה את השטח פי ארבע ולא פי שניים: רדיוס 3 נותן 9 פאי, רדיוס 6 נותן 36 פאי.
דוגמהריבוע חסום במעגל שרדיוסו 5. אלכסון הריבוע הוא הקוטר, כלומר 10, ולכן שטח הריבוע הוא מכפלת האלכסונים חלקי 2, כלומר 10 כפול 10 חלקי 2, שהם 50. בכיוון ההפוך, מעגל חסום בריבוע שצלעו 10 הוא בעל רדיוס 5 ושטח 25 פאי, כלומר כ‑78.5 מתוך 100, קצת יותר משלושה רבעים משטח הריבוע.
שאלות שטח מורכב כמעט תמיד נפתרות בחיסור ולא בבנייה. ריבוע שצלעו 4 ובתוכו מעגל חסום שרדיוסו 2: השטח שנשאר בפינות הוא 16 פחות 4 פאי. בהצבת פאי כ‑3.14 מקבלים 16 פחות 12.56, כלומר כ‑3.4, ובדרך כלל זה מספיק כדי לפסול תשובות בלי לחשב עד הסוף.
מה התרשים מסגיר
התרשים אינו כלי מדידה, ואין להסיק ממנו על אורכים או על גודלי זוויות לפי מראה עיניים. אבל הוא נושא מידע מבני מחייב: אילו נקודות נמצאות על אותו ישר ובאיזה סדר, מה נמצא בתוך מה, אילו קטעים מסומנים כשווים, איפה מסומנת זווית ישרה ואילו ישרים מסומנים כמקבילים. את כל אלה מותר להניח. ההבחנה הזאת שווה נקודות. אם בתרשים נקודה יושבת על קטע בין שני קצותיו, שני החלקים יחד שווים לקטע כולו, גם אם אף מילה בשאלה לא אמרה זאת. אם שני משולשים בתרשים חולקים צלע, זו צלע משותפת ואפשר להשתמש בה. ואם נקודה נמצאת מחוץ למעגל, אין לחפש פתרון שמניח שהיא עליו.
בכיוון השני, אם צלע נראית שווה לצלע אחרת אבל אין סימון, היא לא בהכרח שווה. אם זווית נראית ישרה ואין ריבוע קטן שמסמן זאת ואין נתון בטקסט, אסור להניח שהיא 90 מעלות. הרבה תשובות מוטעות בנויות בדיוק על ההנחה החזותית הזאת.
טקטיקה לשאלות גיאומטריה
בפרק של כ‑20 שאלות ב‑20 דקות אין זמן לחיפוש פתרון אלגנטי. הסדר שעובד הוא קבוע: לסמן על התרשים כל נתון מהטקסט, לשרטט גובה או אלכסון אם מדובר בשטח, ולבדוק אם השאלה עוסקת רק ביחסים ואז להציב מספרים נוחים. אם אחרי 20 שניות אין כיוון, מנחשים וממשיכים. חמשת הצעדים הבאים הם הסדר שכדאי לעבור עליו בכל שאלה.
- סמנו הכול על השרטוט. נתון שנשאר בטקסט הוא נתון שלא תשתמשו בו.
- הוסיפו את הגובה. רוב שאלות השטח שנראות תקועות נפתחות ברגע שמשרטטים גובה או מפרקים צורה לשני משולשים.
- הציבו מספרים. אם השאלה מדברת רק על יחסים, בחרו צלע 1 או 10 וחשבו. התשובה ביחסים לא תשתנה.
- חסרו במקום לבנות. בשטח מורכב, קחו את הצורה הגדולה והורידו ממנה את מה שחסר.
- ודאו מה נשאל. חישבתם רדיוס כשביקשו היקף, או שטח כשביקשו את ההפרש בין שני שטחים. זו הטעות הנפוצה ביותר בנושא.
גיאומטריה היא נושא שמשתלם לתרגל בבלוקים מרוכזים, כי הכללים חוזרים על עצמם ומספר התבניות מוגבל. להקשר הרחב של הפרק כדאי לקרוא את מדריך החשיבה הכמותית, ולתכנון הלמידה את שיטת ההכנה לפסיכומטרי. אם אתם מתרגלים מהנייד, ודאו שהשאלות מגיעות עם השרטוט המקורי ולא עם תיאור מילולי שלו, כפי שמפורט בסקירת אפליקציות לתרגול פסיכומטרי.
שאלות נפוצות
האם התרשים בפסיכומטרי משורטט לפי קנה מידה?
אין להסתמך על מדידה או על הערכת עין. עם זאת התרשים נושא מידע מבני מחייב: סדר הנקודות על ישר, מה נמצא בתוך מה, סימוני זווית ישרה, סימוני קטעים שווים וסימוני מקבילות. את המידע המסומן מותר ואף חובה להניח, את הפרופורציות לא.
אילו נוסחאות גיאומטריה חייבים לזכור למבחן?
שטח משולש הוא בסיס כפול גובה חלקי שתיים, שטח מלבן ומקבילית הוא בסיס כפול גובה, שטח מעוין הוא מכפלת האלכסונים חלקי שתיים, ושטח טרפז הוא סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי שתיים. במעגל: היקף הוא שתי פאי אר ושטח הוא פאי אר בריבוע. בנוסף משפט פיתגורס וסכום זוויות של 180 במשולש.
האם צריך טריגונומטריה לפרק הכמותי?
לא. אין צורך בסינוס, קוסינוס או טנגנס. מספיק להכיר את שני המשולשים הישרי זווית המיוחדים: במשולש 30 60 90 היחס בין הצלעות הוא 1 לשורש 3 ל‑2, ובמשולש 45 45 90 היחס הוא 1 ל‑1 לשורש 2.
מה עושים כשלא רואים איך לפתור שאלת גיאומטריה?
מסמנים על התרשים כל נתון שמופיע בטקסט, ואז מוסיפים גובה או אלכסון. רוב שאלות השטח נפתרות ברגע שמשרטטים את הגובה. אם השאלה עוסקת רק ביחסים, אפשר להציב מספרים נוחים ולחשב. אם אחרי 20 שניות אין כיוון, עדיף לנחש ולהמשיך.
Boost היא אפליקציה לפסיכומטרי עם 2,664 שאלות, 221 שיעורים וסימולציות מבחן מלאות. ההורדה והתרגול היומי חינם.