אחוזים ויחס בפסיכומטרי
אחוזים ויחס הם הנושא המשתלם ביותר לחיזוק בפרק הכמותי, כי הם מופיעים גם בתוך שאלות שנראות שייכות לנושא אחר לגמרי. השליטה בהם מסתכמת בשלוש פעולות: להפוך אחוז לשבר, להכפיל, ולזהות ביחס לאיזה בסיס מחשבים. בעמוד הזה נעבור על השיטות עם דוגמאות פתורות, ברמת הקושי של המבחן ובלי מחשבון.
אחוז הוא שבר
אחוז הוא שבר שהמכנה שלו 100, ולכן 20% הם 20 חלקי 100, כלומר חמישית. המילה "מ" בשאלה פירושה כפל: 20% מ‑150 הם 0.2 כפול 150, כלומר 30. שווה לדעת בעל פה את השברים הנפוצים, כי המרה לשבר מקצרת את החישוב יותר מכל שיטה אחרת, ובמבחן בלי מחשבון זה ההבדל בין עשר שניות לדקה שלמה. שימו לב שכל שאלת אחוזים מחייבת שתי החלטות ולא אחת: מה גודל האחוז, וממה מחשבים אותו. הטעות הנפוצה בפרק היא לא בחישוב אלא בבחירת הבסיס.
| אחוז | שבר | איך מחשבים בראש |
|---|---|---|
| 10% | עשירית | להזיז נקודה עשרונית ספרה אחת |
| 12.5% | שמינית | חצי מ‑25% |
| 20% | חמישית | לחלק ב‑5, או להכפיל ב‑2 ולחלק ב‑10 |
| 25% | רבע | לחלק ב‑4, כלומר לחצות פעמיים |
| 33.3% | שליש | לחלק ב‑3 |
| 50% | חצי | לחלק ב‑2 |
| 75% | שלושה רבעים | להוריד רבע מהשלם |
שינוי באחוזים ושינויים ברצף
שינוי באחוזים מחושב תמיד ביחס לערך ההתחלתי: ההפרש חלקי הערך המקורי. עלייה מ‑40 ל‑50 היא 10 חלקי 40, כלומר 25%, אבל ירידה מ‑50 ל‑40 היא 10 חלקי 50, כלומר 20% בלבד. אותו הפרש מספרי, שני אחוזים שונים, כי הבסיס התחלף. כשיש כמה שינויים ברצף מכפילים את המכפילים זה בזה, ולא מחברים אחוזים. הדרך המהירה היא לעבוד עם מכפילים: עלייה של 30% היא כפל ב‑1.3, וירידה של 30% היא כפל ב‑0.7. שני שינויים ברצף הם מכפלה של שני המכפילים, וזו הסיבה שאחוזים לא מתחברים.
| השינוי | המכפיל |
|---|---|
| עלייה ב‑10% | כפל ב‑1.1 |
| ירידה ב‑10% | כפל ב‑0.9 |
| עלייה ב‑25% | כפל ב‑1.25 |
| ירידה ב‑25% | כפל ב‑0.75 |
| עלייה ב‑50% | כפל ב‑1.5 |
| הכפלה פי 2 | כפל ב‑2, כלומר עלייה של 100% |
דוגמהמחיר עלה ב‑20% ואז ירד ב‑20%. המחיר הסופי נמוך ב‑4% מהמקורי, לא שווה לו. אם התחלנו ב‑100: אחרי עלייה 120, אחרי ירידה 96. במכפילים: 1.2 כפול 0.8 שווה 0.96.
דוגמהחנות נותנת הנחה של 10% ואז עוד 20% על המחיר המופחת. מוצר ב‑200 שקלים: אחרי ההנחה הראשונה 180, אחרי השנייה 144. ההנחה הכוללת היא 56 מתוך 200, כלומר 28% ולא 30%.
לפעמים הצירוף דווקא מתאזן: משכורת שעלתה ב‑25% ואז ירדה ב‑20% חזרה בדיוק לנקודת ההתחלה. 100 הופכים ל‑125, וירידה של 20% מ‑125 היא 25, כלומר שוב 100.
אחוז הפוך: מהתוצאה חזרה למקור
כשנתון המחיר אחרי השינוי ומבקשים את המחיר לפני, אסור להוסיף את אותו אחוז בחזרה. במקום זה מחלקים במכפיל. אם אחרי הנחה של 25% המחיר הוא 90, אז 90 שווים ל‑0.75 מהמקור, ולכן המקור הוא 90 חלקי 0.75, כלומר 120. בדיקה: רבע מ‑120 הוא 30, ו‑120 פחות 30 הם 90. המלכודת הקלאסית היא להוסיף 25% ל‑90 ולקבל 112.5, מספר שיופיע כמעט תמיד בין התשובות. הכלל הבטוח: מגדירים את הלא נודע כשלם, כותבים משוואה אחת, ומחלקים.
דוגמהמספר התלמידים בחוג גדל ב‑20% והגיע ל‑144. כמה היו קודם? 144 שווים ל‑1.2 כפול המקור, ולכן המקור הוא 144 חלקי 1.2, כלומר 120. בדיקה: 20% מ‑120 הם 24, ו‑120 ועוד 24 הם 144.
אותה שיטה פותרת גם אחוז מאחוז. בכיתה 40% בנים, ומתוכם 25% משחקים כדורסל. חלקם של הבנים המשחקים כדורסל בכיתה כולה הוא 0.4 כפול 0.25, כלומר 10%. בכיתה של 200 תלמידים: 80 בנים, מתוכם 20 שחקנים, ו‑20 מתוך 200 הם אכן 10%.
יחס וחלוקה ביחס
יחס הוא מספר חלקים, לא כמות. כדי לחלק כמות ביחס נתון סוכמים את החלקים, מחלקים את הכמות במספר החלקים כדי למצוא כמה שווה חלק אחד, ומכפילים חזרה. לחלוקת 200 ביחס 3 ל‑5 יש שמונה חלקים, כל חלק שווה 25, ולכן המנות הן 75 ו‑125. אותה שיטה עובדת גם עם שלושה איברים. לחלוקת 840 ביחס 2 ל‑3 ל‑7 יש 12 חלקים, כל חלק שווה 70, והמנות הן 140, 210 ו‑490. סכומן הוא 840, ובדיקה מהירה מוודאת שלא התבלבלנו.
המעבר בין יחס לאחוז הוא מקור קבוע לטעויות. אם היחס בין שני גדלים הוא 2 ל‑3, הראשון הוא שתי חמישיות מהסך הכול, כלומר 40%, והשני 60%. אבל הראשון קטן מהשני בשליש, בעוד שהשני גדול מהראשון בחצי, כלומר ב‑50%. אלה ארבעה מספרים שונים שמתארים את אותו מצב, והשאלה תמיד מציינת במפורש ביחס למה.
דוגמהבכיתה היחס בין בנים לבנות הוא 3 ל‑2 ויש בה 30 תלמידים. חמישה חלקים, כל חלק 6, ולכן 18 בנים ו‑12 בנות. אם מצטרפות 5 בנות, היחס החדש הוא 18 ל‑17, ולא 3 ל‑2 עם תוספת.
קצב, תפוקה ומהירות
בעיות קצב הן בעיות יחס בתחפושת. הכלל היחיד שצריך הוא שקצבים מתחברים ואילו זמנים לא. אם עובד מסיים משימה בשש שעות ועובד אחר בשלוש שעות, יחד הם מסיימים בשעתיים ולא בארבע וחצי. הדרך המהירה היא לבחור לעבודה כולה גודל נוח, בדרך כלל הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של הזמנים. בדוגמה הזאת נניח שהעבודה כולה שווה 6 יחידות. הראשון משלים יחידה אחת בשעה, השני שתיים, יחד שלוש בשעה, ולכן 6 יחידות נגמרות בשעתיים בדיוק. בשברים: שישית ועוד שליש הם חצי, וחצי עבודה בשעה פירושו שעתיים לסיום.
דוגמהברז אחד ממלא בריכה ב‑10 שעות והשני ב‑15 שעות. נניח שהבריכה היא 30 יחידות: הראשון מוסיף 3 יחידות בשעה, השני 2, יחד 5. הבריכה מתמלאת ב‑30 חלקי 5, כלומר שש שעות.
מהירות עובדת באותו היגיון: דרך שווה מהירות כפול זמן. רכבת שעברה 240 קילומטר בשלוש שעות נסעה ב‑80 קילומטר לשעה. המלכודת הקבועה היא מהירות ממוצעת בדרך הלוך ושוב, שאינה הממוצע החשבוני של שתי המהירויות.
דוגמהנסיעה של 120 קילומטר ב‑60 קילומטר לשעה נמשכת שעתיים, והחזרה באותה דרך ב‑40 קילומטר לשעה נמשכת שלוש שעות. סך הכול 240 קילומטר בחמש שעות, כלומר 48 קילומטר לשעה בממוצע, ולא 50.
קיצורי דרך שחוסכים זמן
שלושה קיצורים מחזירים את רוב הזמן שאובד בפרק. הראשון: מותר להחליף בין האחוז למספר שממנו מחשבים, ולכן 18% מ‑50 שווים ל‑50% מ‑18, כלומר 9. השני: כששואלים רק על יחסים, אפשר להציב מספר נוח כמו 100. השלישי: לענות על מה שנשאל, לא על מה שחישבתם. הצבת 100 עובדת כי כל שאלה שמנוסחת רק באחוזים אינה תלויה בגודל ההתחלתי. אם שאלה מדברת על מחיר שעלה, ירד ושוב עלה, בלי לתת ולו מספר אחד, התחילו מ‑100 ותקבלו את התשובה ישירות באחוזים.
הקיצור השלישי הוא הכי משתלם ולא דורש חישוב בכלל. חלק גדול מהטעויות בפרק הן פתרון נכון של השאלה הלא נכונה: חישבתם את המחיר החדש כשביקשו את גודל ההנחה, או את מספר הבנים כשביקשו את ההפרש. לפני שמסמנים, קראו שוב את השורה האחרונה של השאלה.
לתמונה רחבה של שאר הנושאים בפרק כדאי לעבור על מדריך החשיבה הכמותית, ולבניית סדר תרגול נכון על איך להתכונן לפסיכומטרי. חשוב לדעת גם שממועד דצמבר 2026 המבחן כולל שני פרקים כמותיים מתוך חמישה, כך שהמשקל של הנושא הזה בציון הסופי רק עולה.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין נקודת אחוז לבין אחוז?
נקודת אחוז היא הפרש פשוט בין שני אחוזים, ואחוז הוא שינוי יחסי. אם תמיכה במפלגה עלתה מ‑20% ל‑25%, העלייה היא חמש נקודות אחוז, אבל העלייה באחוזים היא 25%, כי 5 חלקי 20 הם רבע. שאלות רבות בפסיכומטרי בנויות בדיוק על הבלבול הזה.
מחיר עלה ב‑20% ואז ירד ב‑20%, האם חזרנו למחיר המקורי?
לא. אחרי עלייה של 20% מ‑100 מגיעים ל‑120, ואחרי ירידה של 20% מ‑120 מגיעים ל‑96. הסיבה היא שהירידה מחושבת מבסיס גדול יותר. התוצאה תמיד נמוכה מהמקור, כאן בארבעה אחוזים.
איך מחשבים אחוזים בראש בלי מחשבון?
עוגנים של 10% ושל 1% פותרים כמעט הכול: 10% הם הזזת נקודה עשרונית, ו‑1% הם הזזה של שתי ספרות. אפשר גם להחליף בין האחוז למספר שממנו מחשבים: 18% מ‑50 שווים ל‑50% מ‑18, כלומר 9.
כמה זמן כדאי להשקיע בשאלת אחוזים במבחן?
פחות מדקה. הפרק כולל כ‑20 שאלות ב‑20 דקות, ושאלות אחוזים אמורות להיות מהצד המהיר של הטווח. אם אחרי 15 שניות לא ברור מהו הבסיס שממנו מחשבים, עדיף לסמן ניחוש ולהמשיך ולחזור בסוף.
Boost היא אפליקציה לפסיכומטרי עם 2,664 שאלות, 221 שיעורים וסימולציות מבחן מלאות. ההורדה והתרגול היומי חינם.